En France, poser et effectuer des divisions euclidiennes avec un diviseur à un chiffre grâce à un algorithme particulier et le dessin d’une potence est enseigné au CM1. La technique opératoire est explicitée en classe et les élèves sont invités à la maîtriser : le dividende s’écrit dans la partie gauche de la potence, le diviseur dans la partie droite. Le résultat – le quotient – se découvre au fur et à mesure des calculs, se plaçant sous le diviseur, un trait les séparant. Le reste, s’il y en a un, est le dernier nombre que l’on place à gauche, sous la série de boucles de calculs effectuées.
Pour effectuer une division, on cherche combien de fois il y a le diviseur dans le ou les premiers chiffres du dividende. On place ensuite ce chiffre au quotient. L’étape suivante est de multiplier ce chiffre par le diviseur et de soustraire le produit obtenu à la partie du dividende correspondante. Le chiffre suivant du dividende (le chiffre des dizaines, ou centaines, etc. selon ce qui a été utilisé avant) est alors placé à droite de la différence calculée. Et ainsi de suite, jusqu’à ce que le résultat de la soustraction soit inférieur au diviseur (il indiquera ce qu’on appelle le “reste”).
Lors de cet apprentissage, certains enfants perdent, en route, le sens de la division.
Or, les problèmes de partages équitables sont proposés aux élèves dès l’école maternelle, grâce à la manipulation.
L’idée de cet article est de s’appuyer sur cette notion de partage pour montrer que l’on peut comprendre ce que représente une division-posée-sous-forme-de-potence grâce à la manipulation.
Procédons par étapes.
Tout d’abord, prenons une situation simple de partage.
Imaginons la situation suivante : l’achat d’un paquet de 12 billes pour une fratrie de 3 enfants. La division en trois du paquet de 12 billes revient à partager les 12 billes en trois parts égales.
À la maison, vous pouvez utiliser 12 billes ou bien 12 billes dessinées (il suffit de dessiner puis de découper 12 “ronds”) et trois coupelles vides afin de les partager en trois parts égales. Pour cela, proposez à votre enfant de mettre successivement une bille dans chaque coupelle, puis une autre, et encore une autre et enfin une quatrième bille.
Invitez ensuite votre enfant à constater que le partage des 12 billes en 3 donne 4 : chaque coupelle, après le partage, contient 4 billes. En reprenant l’exemple de départs : les 3 enfants de la fratrie recevront donc 4 billes chacun (et il n’en restera aucune à partager).
Une fois formalisée sous forme de potence, la division donnera donc ceci :
Passons à présent à des dividendes plus grands.
Pour des nombres plus grands, manipuler le matériel Montessori initialement utilisé pour comprendre la base décimale peut apporter une aide précieuse.
De quoi s’agit-il ?
Dans la pédagogie Montessori, les perles dorées offrent la possibilité de manipuler les quantités pour comprendre la structure de la numération en base 10 avant de passer à l’abstraction.
- Une seule perle dorée représente l’unité.
- Une barrette composée de 10 perles dorées attachées en ligne représente une dizaine
- Un carré, sous forme de plaque, formé de 10 barrettes de 10 perles reliées ensemble bâtonnets représente une centaine (100 perles forment le carré)
- Un cube formé de 10 carrés de 100 perles représente un millier (1000 perles composent le cube)
D’autres matériels composés de cubes unitaires, de bâtonnets de 10 cubes, de plaques de 10 bâtonnets et de cubes des milliers en bois sont également disponibles et peuvent être manipulés, ici, de la même façon.
Partagés équitablement, ces cubes, bâtonnets et plaques peuvent, de la même manière que les perles Montessori, aider à donner du sens à la présentation de la division en potence.
Prenons maintenant un exemple concret de nombre à diviser.
Imaginons la division suivante à effectuer : 484 divisé par 4, ou autrement dit sous forme de problème imagé, partageons, par exemple, 484 marrons ramassés (par plusieurs personnes et réunis) en quatre groupes égaux de marrons.
Afin de réaliser un partage équitable, prenons quatre contenants dans lesquels va être réparti le matériel de manipulation de type Montessori.
La répartition commence par la pose, dans chaque contenant, d’une plaque “centaine” : quatre plaques “centaine” sont ainsi partagées équitablement ; la quantité dans chaque contenant est égale, et il ne reste pas de centaine à partager.
Avec une formalisation en potence, à l’emplacement réservé au quotient, nous pouvons alors écrire 1 (car nous avons disposé une plaque “centaine” dans chaque contenant). Dans la partie de gauche, nous écrivons 4 sous le 4 des centaines car nous avons bien distribué les quatre centaines. Puis nous rajoutons le signe moins qui s’impose avec zéro en dessous car il ne reste pas de centaines à distribuer.
Continuons avec les dizaines. Prenons 8 barrettes de 10 perles (ou 8 bâtonnets de 10 cubes unitaires) et répartissons-les dans les contenants. Chaque contenant reçoit 2 barrettes (ou 2 bâtonnets).
Dans la formalisation en potence, à droite du 1 des centaines, nous pouvons alors écrire 2 (car nous avons distribué deux dizaines à chaque contenant). Nous abaissons le 8 et soustrayons les 8 dizaines distribuées, ce qui donne zéro car aucune barrette ne reste à distribuer après le partage.
Poursuivons avec les unités : 4 unités sont à répartir dans les contenants. Chaque contenant reçoit 1 perle (ou 1 cube-unité).
Dans la formalisation en potence, à droite du 2 des dizaines, nous pouvons alors écrire 1 (car nous avons distribué 1 unité à chacun des contenants). Nous abaissons le 4 et soustrayons les 4 unités distribuées, ce qui donne zéro car aucune perle ne reste à partager.
Puisqu’il n’y a aucun reste et que tout a été partagé équitablement, le résultat de la division se dévoile à l’emplacement réservé au quotient : 121.
Prenons un autre exemple un peu plus complexe.
La démarche devient un tout petit peu plus difficile lorsqu’il y a des milliers, centaines ou dizaines restant à partager. Mais il suffit d’envisager de “casser” ces restes. Par exemple, un millier restant sera envisagé comme 10 centaines (et donc sera ajouté aux centaines à partager). Une centaine restante sera envisagée comme 10 dizaines (et donc sera ajoutée aux dizaines à partager). Une dizaine restante sera envisagée comme 10 unités (et donc sera ajoutée aux unités à partager).
Envisageons 7896 divisé par 6.
Afin de réaliser un partage équitable, prenons 6 contenants pour répartir le matériel.
La répartition commence par la pose, dans chaque contenant, du cube “millier” : 6 cubes sont ainsi partagés équitablement : 1 par contenant ; la quantité dans chaque contenant est égale, mais il reste 1 millier à partager.
Un millier est l’équivalent de 10 centaines. Nous avons donc 10+8=18 centaines à partager en 6. Dans ce cas, 3 plaques de centaines sont déposées dans chacun des contenants. Il ne reste pas de plaques à partager ensuite.
Nous passons donc aux dizaines. Ici, 9 barrettes “dizaines” sont à partager. Chaque contenant va en recevoir 1, et 3 barrettes “dizaines” vont ainsi rester. Ces plaques de dizaines restantes vont être remplacées par 30 perles unitaires, qui vont venir s’ajouter aux 6 perles-unités initialement à distribuer. Ces 36 perles unitaires vont devoir être déposées une à une dans les contenants.
Chaque contenant va finalement recevoir 6 perles-unités, et aucune perle ne restera à partager.
Le résultat de la division est donc 1316.
Une remarque
À noter : les exemples de manipulation décrits ici s’appuient sur des situations dites de division-partition.
La division-partition cherche la valeur de chaque part à partir du total et du nombre de parts. Elle se distingue de la division-quotition où l’on cherche combien de parts peuvent être
constituées. La division peut, en effet, avoir deux sens : celui de partage et celui de regroupement.
Par exemple, le problème suivant : “28 billes sont placées dans 4 sachets différents, avec un nombre de billes égal pour chaque sachet. Combien y a-t-il de billes dans chaque sachet ?” est un problème de division-partition.
Le problème “28 billes sont disposées sur une table. L’objectif est de remplir des sachets contenant 7 billes chacun. Combien de sachets peut-on remplir ?” implique une division-quotition.
Dans le premier problème, le nombre de parts est connu. Dans le second, on cherche le nombre maximum de parts qu’il est possible d’obtenir.
Également appelée “division-groupement”, la division-quotition consiste à chercher combien de fois un nombre est contenu dans un autre.
Les illustrations graphiques ont été réalisées à l’aide de la version payante de Claude.ai.